Muster nummer 1

de Courcy-Ireland seinerseits möchte die “Goldilocks”-Skala, auf der effektive Grenzperiodizität in den Primes entsteht, besser verstehen. 1976 zeigte Patrick Gallagher von der Columbia University, dass die Primes-Abstände in kurzen Intervallen zufällig aussehen; längere Streifen werden benötigt, damit ihr Muster entsteht. In den neuen Beugungsstudien analysierten de Courcy-Ireland und seine Chemiker eine Menge, die als “Order-Metrik” bezeichnet wird und das Vorhandensein des grenzperiodischen Musters steuert. “Man kann erkennen, wie lange das Intervall sein muss, bevor man beginnt, diese Menge wachsen zu sehen”, sagte er. Er ist fasziniert, dass diese intervalllange Intervalllänge auch in einer anderen Primzahlregel auftaucht, die Maiers Satz genannt wird. Aber es ist zu früh, um zu sagen, ob dieser Thread irgendwohin führen wird. Es besteht aus einer periodischen Abfolge von hellen Spitzen, die die häufigsten Abstände von Primzahlen widerspiegeln: Alle von ihnen (außer 2) befinden sich an ungeraden ganzzahligen Positionen auf der Zahlenlinie, Vielfache von zwei auseinander. Diese hellsten Spitzen werden in regelmäßigen Abständen mit weniger hellen Spitzen durchsetzt, was Primzahlen widerspiegelt, die durch Vielfache von sechs auf der Zahlenlinie getrennt sind. Diese haben Dimmerspitzen zwischen ihnen, die weiter voneinander entfernten Primierungspaaren entsprechen, und so weiter in einer unendlich dichten Verschachtelung von Bragg-Spitzen.

Es war das erste von vielen Treffen zwischen den beiden am Institute for Advanced Study in Princeton, N.J., wo Torquato ein Sabbatical verbrachte. Der Chemiker sagte de Courcy-Irland, dass er seine Formel verwenden könnte, um die Häufigkeit von “Zwillingsprimieren” vorherzusagen, die Paare von Primierungen sind, die durch zwei getrennt sind, wie 17 und 19. Der Mathematiker antwortete, dass Torquato in der Tat alle anderen Trennungen vorhersagen könnte. Die Formel für die Bragg-Gipfel entsprach mathematisch der Hardy-Littlewood-K-Tupel-Vermutung, einer kraftvollen Aussage der englischen Mathematiker Godfrey Hardy und John Littlewood aus dem Jahr 1923, über die es “Konstellationen” von Primpen geben kann. Eine Regel verbietet drei aufeinander folgende ungerade Primzahlen nach 3, 5, 7, da eine in der Gruppe immer durch drei teilbar ist, wie in . Diese Regel veranschaulicht, warum die zweithellsten Spitzen im Beugungsmuster der Primzahl paare, die durch sechs und nicht durch vier voneinander getrennt sind. In diesem Muster sehen wir, dass jeder Begriff in der Sequenz um 6 gewachsen oder erhöht wurde oder die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen 6 ist. Wir können also die nächste Amtszeit erhalten, indem wir der vorherigen Amtszeit 6 hinzufügen. Dichte Bragg-Spitzen wurden schon einmal gesehen, in den Beugungsmustern von Quasikristallen, jenen seltsamen Materialien, die in den 1980er Jahren mit symmetrischen, aber nicht wiederholenden atomaren Anordnungen entdeckt wurden. Im Fall der Primzeiten sind die Abstände zwischen den Gipfeln jedoch Bruchteile voneinander, im Gegensatz zu den irrational verteilten Bragg-Spitzen von Quasikristallen. “Die Primzahlen deuten tatsächlich auf einen völlig anderen Zustand von Teilchenpositionen hin, die wie Quasikristalle, aber nicht wie Quasikristalle sind”, sagte Torquato.

Torquato macht sich keine besondere Sorgen darüber, wie seine Arbeit von Zahlentheoreten wahrgenommen wird. Er hat einen Weg gefunden, das Muster der Primzeiten zu erahnen. “Ich finde es wirklich atemberaubend”, sagte er. “Es ist ein Schock.” Einige Probleme für das Muster können auch ein Muster von Punkten beinhalten, wo wir die Anzahl und Position der Punkte im Muster herausfinden müssen. In diesem Zahlenmuster können wir sehen, dass jeder Begriff in der Sequenz um 3 oder 3 reduziert wurde von jeder Zahl im Vergleich zu seiner vorherigen subtrahiert wurde. Wir können also 3 von der vorherigen Amtszeit subtrahieren, um die nächste Amtszeit zu erhalten. Aber in drei neuen Arbeiten – eine von Torquato, Zhang und dem Computerchemiker Fausto Martelli, die im Februar im Journal of Physics A veröffentlicht wurde, und zwei weitere, die gemeinsam mit de Courcy-Irland verfasst wurden, die noch nicht von Experten überprüft wurden – berichten die Forscher, dass die Primspitzen, wie Kristalle und im Gegensatz zu Flüssigkeiten, ein Beugungsmuster erzeugen.

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